Mathematische Herleitung des Effektivwertes

Mathematische Herleitung des Effektivwertes
Die Leistung an einem Verbraucher berechnet sich nach der Formel:
P = I² · R
Da bei Wechselstrom die Stromstärke I und auch die Leistung P zeitlich veränderliche Größen sind, werden sie durch die Kleinbuchstaben i bzw. p dargestellt.
p = i² · R

sinusförmiger Wechselstrom und daraus resultierende Leistung

Das Bild zeigt einen sinusförmigen Wechselstrom und die daraus resultierende Leistung.

i Augenblickswert des Stromes	I Effektivwert des Stromes
p Augenblickswert der Leistung	P Effektivwert der Leistung

Die bei Wechselstrom während einer Periodendauer T erzeugte Wärmeleistung P berechnet sich durch das Integral über die Periodendauer gemäss folgender Formel:

Integral zur Berechnung der Leistung bei Wechselstrom

Zur Berechnung einer Gleichstromleistung, die in ihrer Höhe der Wechselstromleistung entspricht werden die Formeln zur Leistungsberechnung bei Gleichstrom und Wechselstrom gleichgesetzt:

Gleichsetzung von Gleichstromleistung und Wechselstromleistung

Löst man diese Gleichung nach I auf, so erhält man:

Integral zur Berechnung des Effektivwertes

Der Momentanwert (Augenblickswert) i eines sinusförmigen Stromes berechnet sich aus dem Maximalwert î gemäss der Formel:
i = î · sin t
Setzt man nun diese Gleichung in die darüberstehende Gleichung ein und ersetzt die Periodendauer T durch 2

so erhält man:

Integral zur Berechnung des Effektivwertes bei sinusförmigem Wechselstrom

Durch die Berechnung des Integrals und Auflösung der Gleichung kommt man schließlich auf die bekannte Formel zur Berechnung des Effektivwertes:

Lösung des Integrals und der Gleichung

Der Scheitelfaktor

entspricht in etwa dem Wert 1,41.

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