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Mathematische Herleitung des Effektivwertes
Die Leistung an einem Verbraucher berechnet sich nach der Formel:
P = I2 · R
Da bei Wechselstrom die Stromstärke I und auch die Leistung P zeitlich veränderliche Größen sind, werden sie durch die Kleinbuchstaben i bzw. p dargestellt.
p = i2 · R

sinusförmiger Wechselstrom und daraus resultierende Leistung

Das Bild zeigt einen sinusförmigen Wechselstrom und die daraus resultierende Leistung.
 i Augenblickswert des Stromes  I Effektivwert des Stromes
 p Augenblickswert der Leistung  P Effektivwert der Leistung


Die bei Wechselstrom während einer Periodendauer T erzeugte Wärmeleistung P berechnet sich durch das Integral über die Periodendauer gemäss folgender Formel:

Integral zur Berechnung der Leistung bei Wechselstrom

Zur Berechnung einer Gleichstromleistung, die in ihrer Höhe der Wechselstromleistung entspricht werden die Formeln zur Leistungsberechnung bei Gleichstrom und Wechselstrom gleichgesetzt:

Gleichsetzung von Gleichstromleistung und Wechselstromleistung

Löst man diese Gleichung nach I auf, so erhält man:

Integral zur Berechnung des Effektivwertes

Der Momentanwert (Augenblickswert) i eines sinusförmigen Stromes berechnet sich aus dem Maximalwert î gemäss der Formel:
 i = î · sin Omegat
Setzt man nun diese Gleichung in die darüberstehende Gleichung ein und ersetzt die Periodendauer T durch 2Pi so erhält man:

Integral zur Berechnung des Effektivwertes bei sinusförmigem Wechselstrom

Durch die Berechnung des Integrals und Auflösung der Gleichung kommt man schließlich auf die bekannte Formel zur Berechnung des Effektivwertes:

Lösung des Integrals und der Gleichung

I = i Dach/Wurzel 2

Der Scheitelfaktor Wurzel 2 entspricht in etwa dem Wert 1,41.

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Verwandte Themen: Sinusförmige Wechselspannung/Wechselstrom | Scheitelwert | Effektivwert | Gradmaß und Bogenmaß | Periodendauer und Frequenz | Kreisfrequenz | Augenblickswert


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